Indukciós példák. A matematikai indukció módszere: a megoldások példái

Az igazi tudás mindenkor alapulta szabályszerűség megteremtése és az igazságosság bizonyítása bizonyos körülmények között. A logikai érvelés ilyen hosszú idejéhez a szabályok megfogalmazódtak, és Arisztotelész még összeállította a "helyes érvelés" listáját. Történelmileg minden következtetést kétféleképpen oszlatunk le: betonról többszörösre (indukcióra) és fordítva (levonás). Meg kell jegyezni, hogy a magánszemélyektől az általánosig és az általánostól a konkrétig terjedő bizonyítékok típusai csak a kapcsolatban léteznek, és nem használhatók felcserélhetően.

Indukció a matematikában

Az "indukció" kifejezés latinul vangyökereit, és szó szerint lefordítják "útmutatásként". Szoros tanulmányozással meg lehet különböztetni a szó struktúráját, nevezetesen a latin előtagot - in- (jelöli az irányított cselekvést belsejében vagy belsejében) és a bevezetés bevezetését. Meg kell jegyezni, hogy kétféle - teljes és nem teljes indukció van. A teljes formát az egyes osztályok minden tárgyának tanulmányozásából levont következtetések jellemzik.

Nem teljes - a következtetések az osztály valamennyi alanyára vonatkoznak, de csak néhány egység tanulmányozásán alapulnak.

Teljes matematikai indukció - következtetés,amely a tárgyak teljes osztályára vonatkozó általános következtetés alapján funkcionális kapcsolatban áll egy természetes számszám relációival ezen funkcionális kapcsolat ismerete alapján. A bizonyítási folyamat három szakaszon megy keresztül:

• az első igazolja a matematikai indukció helyességét. Példa: f = 1, ez az indukció alapja;
• A következő szakasz azon a feltételezésen alapul, hogy a pozíció minden természetes számra érvényes. Ez azt jelenti, hogy f = h, ez egy indukciós hipotézis;
• igazságosságot a harmadik szakaszban bizonyítottákaz f = h + 1 szám pozíciói az előző bekezdés helyességének helyessége alapján egy indukciós lépés vagy a matematikai indukció egy lépése. Példa erre az úgynevezett "domino-elv": ha az első csont sorba esik (alap), akkor az összes csont egy sorban esik (átmenet).

És szórakoztató, és komolyan

Az észlelés megkönnyítése érdekében a matematikai indukció módszerével kapcsolatos megoldások példái a vicc problémák formájában vannak kitéve. Ilyen feladat az "udvarias vonal":

• A magatartási szabályok megakadályozzák, hogy egy ember elfoglaljonegy nő előtt álló sorban (ilyen helyzetben előremutató) Ezen állítás alapján, ha a sorban lévő utolsó ember ember, akkor a többiek férfiak.

A matematikai indukció módszerének feltűnő példája a "dimenzió nélküli repülés" problémája:

• Meg kell bizonyítani, hogy a minibusz elhelyezésre kerülbármilyen számú ember. Igazából, az a kijelentés, hogy egy személy nehéz helyzetbe illeszkedik a járműbe (alap). De függetlenül attól, hogy miként töltődik be a minibusz, 1 utas mindig belefér (indukciós lépés).

Ismerős körök

A problémák és egyenletek matematikai indukciójának módszereinek megoldása meglehetősen gyakori. Ennek a szemléletnek a szemléltetésére a következő problémát tekinthetjük meg.

feltétel: h kerül a körök síkjára. Szükséges bizonyítani, hogy az ábrák bármely elrendezésében az általuk kialakított térkép két színnel helyesen festhető.

A megoldás: h = 1 esetén a kijelentés igazsága nyilvánvaló, így a h + 1 körök számának bizonyítása lesz.

Tegyük fel, hogy a nyilatkozat érvényesbármilyen térképen, és a síkon h + 1 köröket adnak meg. Az egyik kör eltávolításával az összes térképet két színnel (fekete-fehér) helyesen színezheti.

A távoli kör visszaállításakor ez megváltozikaz egyes területek színe az ellenkező irányba (ebben az esetben a kör belsejében). Kiderül, hogy a térkép megfelelően festett, két színben.

Példák természetes számokkal

Az alábbi ábra a matematikai indukció módszerének alkalmazását mutatja be.

Megoldási példák:

Bizonyítsuk be, hogy minden h esetében a következő egyenlőség igaz:

1²2²3²+ ... + h²= h (h + 1) (2h + 1) / 6.

megoldás:

1. Legyen h = 1, majd:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

Ebből következik, hogy a h = 1 esetében a kijelentés helyes.

2. Feltételezve, hogy h = d, megkapjuk az egyenletet:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Feltételezve, hogy h = d + 1, megkapjuk:

R_{d + 1}= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²2²3²+ ... + d²+ (d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= (d (d + 1) (2d + 1) +6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) +6 (k + 1)) / 6 =

(d + 1) (2d²+ 7d + 6) / 6 = (d + 1) (2 (d + 3/2) (d + 2)) / 6 = (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6.

Így a h = d + 1 egyenlőség érvényessége bebizonyosodik, ezért a kijelentés igaz minden természetes számra, amint azt a matematikai indukció megoldásának példája mutatja.

feladat

feltétel: bizonyítékot igényel, hogy a h kifejezés 7 bármely értékéhez^h-1 maradék nélkül osztható 6-tal.

A megoldás:

1. Tegyük fel, hogy h = 1, ebben az esetben:

R₁= 7¹-1 = 6 (azaz maradék nélkül osztható 6-tal)

Ezért h = 1 esetén az állítás igaz;

2. Legyen h = d és 7^d-1 maradék nélkül oszlik meg 6-tal;

3. A h = d + 1 állítás érvényességének igazolása a következő képlet:

R_d1= 7^d1-1 = 7 ∙ 7^d-7 + 6 = 7 (7^d-1) +6

Ebben az esetben az első addendumot az első bekezdés feltételei szerint 6-mal osztjuk, a második kiegészítést pedig 6. A nyilatkozat 7^hA -1 osztható 6-tal anélkül, hogy bármilyen természetes h-true-ra lenne szükség.

Az ítélet tévedése

Gyakran bizonyítékokat használnak rosszulaz alkalmazott logikai konstrukciók pontatlansága miatt. Ez főként a bizonyítékok szerkezetének és logikájának megsértésével történik. Egy ilyen példa a helytelen érvelésre.

feladat

feltétel: bizonyítékot követel meg, hogy egy köves halom nem maroknyi.

A megoldás:

1. Tegyük fel, hogy h = 1, ebben az esetben 1 kő van a halomban, és az állítás igaz (alap);

2. Tegyük fel, hogy h = d esetén igaz, hogy egy halom kövek nem maroknyi (feltételezés);

3. Legyen h = d + 1, amiből következik, hogy egy további kő hozzáadásával a csoport nem lesz kis csoport. A következtetés az, hogy a feltételezés minden természetes h esetében érvényes.

A hiba abban rejlik, hogy nincs meghatározás arról, hogy hány köveket alkotnak egy halom. Ezt a hiányosságot a matematikai indukció módszerének elhamarkodott általánosításának nevezzük. Egy példa erre világosan mutatja.

Indukció és a logika törvényei

Történelmileg az indukció és a levonás példái mindig "kéz a kézben járnak". Ezek a tudományágak, mint logika, filozófia ellentétek formájában írják le őket.

Az induktív logikai jog szempontjábóla definíciók a tényekre támaszkodva láthatók, és a helyiségek hitelessége nem határozza meg a kapott nyilatkozat helyességét. Gyakran a következtetéseket bizonyos fokú valószínűséggel és valószínűséggel érik el, amelyet természetesen további vizsgálatokkal kell ellenőrizni és megerősíteni. A logikában történő indukció egyik példája:

Észtországban - szárazság, Lettországban - szárazság, Litvániában - aszály.

Észtország, Lettország és Litvánia a balti államok. Az összes balti államban az aszály.

A példából arra következtethetünk, hogy az új információvagy az igazság nem hozható létre az indukciós módszerrel. Minden, ami elvárható, a következtetések esetleges igazságossága. Továbbá a csomag igazsága nem garantálja ugyanazokat a következtetéseket. Ez a tény azonban nem jelenti azt, hogy az indukció a levonás szélén marad: nagyszámú rendelkezés és tudományos törvény megalapozott az indukciós módszerrel. Példa erre ugyanaz a matematika, biológia és más tudományok. Ennek oka főként a teljes indukciós módszer, de bizonyos esetekben részleges.

A tiszteletre méltó indukciós korszak lehetővé tette, hogy szinte minden emberi tevékenység szférába behatoljon - ez a tudomány, a közgazdaságtan és a mindennapi következtetések.

Indukció a tudományos környezetben

Az indukciós módszer szoros kapcsolatot igényel,mivel a túl sok a vizsgált adatok számától függ: minél nagyobb a vizsgált szám, annál megbízhatóbb az eredmény. Ebből a szempontból az indukciós módszerrel nyert tudományos törvényeket meglehetősen hosszú időn keresztül ellenőrzik a valószínűségi feltételezések szintjén az összes lehetséges szerkezeti elem, kötés és befolyás elkülönítésére és tanulmányozására.

A tudományban az indukciós következtetések alapulnakjelentős jellemzők, a véletlenszerű rendelkezések kivételével. Ez a tény a tudományos ismeretek sajátosságai szempontjából fontos. Ez jól látható a tudomány indukciójának példáiban.

A tudományos világban kétféle indukció létezik (a tanulmányi móddal összefüggésben):

1. indukciós kiválasztás (vagy kiválasztás);
2. indukció - kivétel (megszüntetés).

Az első típus megkülönböztethető az osztály (alosztályok) módszertani (szúró) mintavételétől a különböző területekről.

Az ilyen típusú indukcióra példa a következő: ezüst (vagy ezüst sók) tisztítja a vizet. A következtetés hosszú távú megfigyeléseken alapul (egyfajta bizonyítékválasztás és visszautasítás - kiválasztás).

A második típusú indukció a következtetésekre épülok-okozati összefüggések megállapítása és kizáró körülmények, amelyek nem felelnek meg annak tulajdonságainak, nevezetesen az egyetemességnek, az időbeli sorrendnek, a szükségességnek és az egyediségnek.

Indukció és levonás a filozófia szempontjából

Ha megnézed a történelmi retrospektívakat,Az "indukció" kifejezést először Socrates említette. Arisztotelész a filozófia indukciójának példáit közelebbi terminológiai szótárban írta le, de a hiányos indukció kérdése nyitott marad. Az arisztotelészi syllogizmus üldöztetése után az induktív módszer gyümölcsözőnek és a természettudományok egyetlen lehetséges módszernek minősül. Bacont önálló speciális módszernek tekintik az indukció atyjának, de nem tudott elválasztani, mint a korabeli korosztályokat a deduktív módszertől.

Az indukció további fejlődése J. Mill, aki az indukciós elméletet négy fő módszer szemszögéből tartotta: megállapodás, különbség, maradványok és a megfelelő változások. Nem meglepő, hogy mindeddig ezek a módszerek deduktívak, ha részletesen megvizsgálják.

Tudatosság a Bacon és a Mill elmélete sikertelenségérőlvezette a tudósokat az indukció valószínűségi alapjának kutatására. Ez azonban nem történt szélsőséges körülmények között: kísérleteket tettek a valószínűségi elmélet indukciójának csökkentésére az összes következmény következményével.

A bizalom indukciója a gyakorlatban megszerezhetőalkalmazását bizonyos tárgykörökben és az induktív alap metrikus pontossága miatt. A filozófia indukciójának és levonásának egy példája az univerzális agresszió törvényének tekinthető. A törvény felfedezésének napján Newton 4 százalékos pontossággal ellenőrizte. A több mint kétszáz év után történő ellenőrzés során a helyességet 0,0001 százalékpontos pontossággal igazolták, bár az ellenőrzést ugyanazokkal az induktív általánosításokkal végeztük.

A modern filozófia nagyobb figyelmet fordítlevonás, amelyet a már ismert új tudásból (vagy igazságból) való logikus vágy diktál, anélkül, hogy tapasztalatot, intuíciót, hanem „tiszta” érvelést igényelne. Amikor a deduktív módszerben minden esetben a valódi helyiségeket kezeljük, a kimenet igaz.

Ez a nagyon fontos jellemző nem lehetárnyékolja az induktív módszer értékét. Mivel az indukció, a tapasztalat eredményeire támaszkodva, annak feldolgozásának eszközévé válik (beleértve az általánosítást és a rendszerezést).

Az indukció használata a közgazdaságtanban

Az indukciót és a levonást már régóta használják a gazdaság kutatásának és fejlődésének előrejelzésére.

Az indukciós módszerrel végzett spektrum elegendőszéles: az előrejelző mutatók (nyereség, értékcsökkenés stb.) végrehajtásának tanulmányozása és a vállalkozás állapotának általános értékelése; hatékony vállalkozás kialakítása a tények és azok összefüggéseinek alapján.

Ugyanez az indukciós módszer alkalmazandó a „Shewhart térképekben”, ahol a folyamatok szabályozható és kontrollálhatatlan szétválasztásának feltételezése szerint az ellenőrzött folyamat kerete nem túl mozgékony.

Meg kell jegyezni, hogy a tudományos törvényekaz indukciós módszerrel alátámasztott és támogatott, és mivel a közgazdaságtan tudomány, gyakran matematikai elemzést, kockázatelméletet és statisztikai adatokat használ, nem meglepő, hogy az indukció jelenléte az alapvető módszerek listáján.

Példa a közgazdaságtan indukciójára és levonásáraszolgálja a következő helyzetet. Az élelmiszerek árának emelkedése (a fogyasztói kosárból) és az alapvető áruk miatt a fogyasztót arra kényszeríti, hogy gondoljon az államban felmerülő megélhetési költségekre (indukció). Ugyanakkor lehetséges, hogy egyes áruk vagy árukategóriák (levonás) áremelkedési mutatóit a magas árakból fakadó matematikai módszerekkel lehessen megállapítani.

Leggyakrabban az indukciós módszerre utalvezetők, vezetők, közgazdászok. Annak érdekében, hogy elegendő igazsággal megjósolhassa a vállalkozás fejlődését, a piac viselkedését, a verseny hatásait, indukciós-deduktív megközelítést kell alkalmazni az információk elemzéséhez és feldolgozásához.

Jó példa a közgazdaságtan indukciójára, utalva a téves ítéletekre:

• a vállalat nyeresége 30% -kal csökkent;
  a rivális vállalat bővítette termékcsaládját;
  semmi más nem változott;
• egy versenyző vállalat termelési politikája a nyereség 30% -os csökkenéséhez vezetett;
• ezért ugyanaz a termelési politika szükséges.

Példa erre egy színes illusztráció arról, hogy az indukciós módszer nem megfelelő használata hozzájárul-e egy vállalkozás romjához.

A pszichológia csökkentése és indukciója

Mivel van egy módszer, akkor logikusanmegfelelően szervezett gondolkodás történik (a módszer használata). A pszichológia mint tudomány, amely a mentális folyamatokat, azok kialakulását, fejlődését, összekapcsolását, kölcsönhatásait tanulmányozza, a deduktív gondolkodásra, a levonás és az indukció egyik formájára figyel. Sajnos az internetes pszichológia oldalain gyakorlatilag nincs indok a deduktív-induktív módszer integritására. Bár a szakmai pszichológusok gyakrabban szembesülnek az indukció megnyilvánulásaival, vagy inkább a téves következtetésekkel.

Példa a pszichológia indukciójára, mint illusztrációktéves ítéletek lehetnek a kijelentések: anyám megtéveszt, ezért minden nő hazug. Még ennél is többet találhatunk az életről indukált "hibás" példákra:

• a hallgató nem tud semmit, ha a matematikában van egy gazember;
• bolond;
• intelligens;
• Bármit tehetek;

- és számos más értékbecslés, amely abszolút véletlenszerű, és néha jelentéktelen üzenetekből származik.

Meg kell jegyezni, hogy amikor egy személy ítéleteinek tévedése eléri az abszurditást, megjelenik a pszichoterapeuta munkájának eleje. Egy példa az indukcióra egy szakértői találkozón:

"A beteg teljesen biztos abban, hogy a piros színegyetlen veszélyt hordoz magában bármilyen formában. Ennek eredményeként egy személy megszüntette az adott színsémát életéből - amennyire csak lehetséges. Otthon rengeteg lehetőség van a kényelmes életre. Kiválaszthatja az összes piros elemet, vagy helyettesítheti azokat egy másik színsémában készült partnerekkel. De a nyilvános helyeken, a munkahelyen, a boltban - lehetetlen. A stresszhelyzetbe kerülés esetén a páciens minden alkalommal teljesen más érzelmi állapotok „hullámát” tapasztalja, ami mások számára veszélyes lehet. ”

Ez a példa az indukcióra és az öntudatlanul"fix ötleteknek" nevezik. Ha ez egy mentálisan egészséges emberrel történik, akkor beszélhet a mentális tevékenység megszervezésének hiányáról. A deduktív gondolkodás elemi fejlődése az obszesszív állapotok megszabadulásának módjává válhat. Más esetekben a pszichiáterek ilyen betegekkel dolgoznak.

Az indukciós példák azt mutatják, hogy "a törvény tudatlansága nem mentesül a következményektől (téves ítéletek)."

A pszichológusok, akik a deduktív gondolkodás témáján dolgoznak, felsorolták azokat az ajánlásokat, amelyek célja, hogy segítsék az embereket ennek a módszernek a megismerésében.

Az első tétel a problémák megoldása. Mint látható, a matematikában használt indukciós forma „klasszikusnak” tekinthető, és ennek a módszernek a használata hozzájárul az elme „fegyelméhez”.

A deduktív gondolkodás fejlődésének következő feltételea látókörök bővülése (aki egyértelműen gondolkodik, egyértelműen kimondja). Ez az ajánlás a tudomány és az információs menedékhelyre (könyvtárak, weboldalak, oktatási kezdeményezések, utazás stb.) Irányítja a „sértetteket”.

A pontosság a következő ajánlás. Valóban, az indukciós módszerek alkalmazásának példáiból világosan látható, hogy sok tekintetben garantálja a kijelentések igazságát.

Nem túllépték az elme rugalmasságát, azzal a lehetőséggel, hogy a probléma megoldásához különböző módszereket és megközelítéseket alkalmaznak, valamint figyelembe veszik az események változatosságát.

És természetesen megfigyelés, amely az empirikus tapasztalatok felhalmozódásának fő forrása.

Meg kell említenünk az ún"Pszichológiai indukció." Ez a kifejezés, bár ritkán, megtalálható az interneten. Az összes forrás nem ad röviden a kifejezés fogalmának megfogalmazását, hanem az „életmódokra” utal, miközben egy javaslatot, a mentális betegségek bizonyos formáit, vagy az emberi psziché extrém állapotát indukcióként mutatja be. Mindezekből nyilvánvaló, hogy a „hamis” (gyakran nem a valósághoz) alapuló „új kifejezés” levonására tett kísérlet a kísérletezőt hibás (vagy elhamarkodott) állítások fogadására készteti.

Meg kell jegyezni, hogy a kísérletekre való hivatkozás1960-ban (a helyszín meghatározása nélkül, a kísérletezők nevei, a tantárgyak mintája, és ami a legfontosabb, a kísérlet célja) néz ki, enyhén szólva, meg nem győződve, és az a kijelentés, hogy az agy az információt észleli, kikerülve az összes észlelési szervet (ebben az esetben az „érintett” kifejezés) inkább organikusan illeszkedik), gondolkodik a nyilatkozat szerzőjének hitelességéről és kritikusságáról.

Ahelyett, hogy befejezné

A Tudomány királynője - Matematika, nem mindazért, ami mindent használaz indukciós és levonási módszer lehetséges tartalékai. A megfontolt példák alapján meg lehet állapítani, hogy a felületes és a téves (mint ahogy mondják) a legpontosabb és legmegbízhatóbb módszerek használata mindig hibás eredményekhez vezet.

A tömegtudatban a levonási módszer a híres Sherlock Holmes-hez kapcsolódik, aki logikai konstrukcióiban gyakrabban alkalmazza az indukciót, a helyes helyzetekben levonással.

A cikk az ilyen módszerek alkalmazását mutatja be különböző tudományokban és az emberi tevékenység területén.